Notebook geht aus wenn das Netzkabel eingesteckt wird.

Mein Notebook(Medion Akoya) ist schon ein paar Jahre alt und ist ziemlich 
Akkuschwach, d.h. es muss konstant am Netzteil sein.

Hoffentlich hast du nicht den Akku permanent im Laptop wenn du nur über Netzteil damit arbeitest. Denn das erklärt auch warum der Akku so schnell ausgelutscht ist.

Bis jetzt gab es auch keine Probleme bis heute der Bildschirm anfing zu flackern und 
der pc einfach ausging.

Das kann viele Ursachen haben. Defektes Display,Grafik On Board ,etc.

Dann hab ich das Notebook ohne Kabel gestartet und et voila, er hat sich normal 
hochgefahren.

Wenn der Akku schon ausgelutscht ist hilft das nichts mehr.

Aber da er ja ohne Strom auch wieder ausgeht wollte ich das Kabel wieder eistecken 
und dann ging er wieder sofort aus....

Im Normalfall kann auch ein Laptop OHNE eingesteckten Akku problemlos permanent am Netzteil arbeiten. In einigen Fällen ist mir bekannt das wenn der Akku eine gewisse Mindestkapazität unterschreitet das die Schutzschaltung im inneren verhindert (Bei eingesteckten Akku) das der Akku schaden nimmt. Daher auch das arbeiten bei eingesteckten Akku und eingesteckten Netzteil nicht möglich. Alternative: Akku Raus Netzteil anstecken und damit arbeiten.Wenn man das Netzteil in Verdacht hat ein anders Netzteil ausprobieren ob das Einwandfrei arbeitet. Auch hier mal über einen Neukauf eines Akkus Nachdenken.